Роман Угренчук народився 13 квітня 1957 року в Чернівцях. Футболом розпочав займатися у 12 років (тренери – Айзик Бронштейн, Михайло Мельник). Роман Георгійович виступав у дублюючому складі київського «Динамо» та вінницькому «Локомотиві».

У 1977 році Роман Угренчук дебютував у рідній «Буковині».  Впродовж багатьох років він блискуче захищав кольори рідної команди. Будучи патріотом «Буковини», Угренчук відхиляв пропозиції інших колективів. Зокрема, захисника запрошували у дніпропетровський «Дніпро», який тоді грав у вищій союзній лізі. Як зазначав Роман Георгійович, Леонід Колтун, який тоді входив у тренерський штаб «Дніпра», пропононував йому квартиру в Дніпропетровську.

Наприкінці сезону – 87 за багаторічний виступ у чернівецькому колективі Роману Угренчуку присвоїли звання «майстер спорту СРСР». Він залишається єдиним футболістом в історії «Буковини», який отримав таке високе звання, виступаючи саме у чернівецькій команді. Усього за чернівецький колектив Угренчук зіграв 480 матчів (12 голів).

Після завершення виступів у «Буковині» грав у першості Чернівецької області за команди «Колос» (Новоселиця) та «Агро» (Коритне). 

В останні роки життя Роман Георгійович був директором чернівецького стадіону «Юність» («Гарт»).

Пішов із життя 12 січня 2013 року. У Чернівцях щорічно проводяться турніри пам'яті Романа Угренчука. 

Досягнення у складі «Буковини»: 

Переможець другої ліги чемпіонату СРСР (6 зона): 1982 

Срібний призер другої ліги чемпіонату СРСР: 1980 

Статистика виступів Романа Угренчука: 

1976 (в) – «Динамо» (Київ, дубль) – 1 гол

1976 (о) – «Динамо» (Київ, дубль)

«Локомотив» (Вінниця) – 7

1977 – «Буковина» (Чернівці) – 42 (1)

1978 – «Буковина» (Чернівці) – 44 (3)

1979 – «Буковина» (Чернівці) – 45 (5)

1980 – «Буковина» (Чернівці)

1981 – «Буковина» (Чернівці) – 44 (2)

1982 – «Буковина» (Чернівці) – 50 (1)

1983 – «Буковина» (Чернівці) – 49

1984 – «Буковина» (Чернівці) – 33

1985 – «Буковина» (Чернівці) – 39

1986 – «Буковина» (Чернівці) – 40

1987 – «Буковина» (Чернівці) – 50